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拓展KMP算法详解

  拓展KMP解决的问题是给两个串S和T,长度分别是n和m,求S的每一个后缀子串与T的最长公共前缀分别是多少,记作extend数组,也就是说extend[i]表示S[i,n-1](i从0开始)和T的最长公共前缀长度。

  需要注意的是如果extend[i]=m,即S[i,n-1]和T的最长公共前缀长度是m(正好是T的长度),那么就表示T在S中找到匹配而且起始位置是i,这就解释了为什么这个算法叫做拓展KMP了。

  其实大致和KMP有异曲同工之妙,都是匹配,都是借用一个next数组。 

  下面举一个例子,S=”aaaabaa”,T=”aaaaa”,首先,计算extend[0]时,需要进行5次匹配,直到发生失配

  

  从而得知extend[0]=4,下面计算extend[1],在计算extend[1]时,是否还需要像计算extend[0]时从头开始匹配呢?答案是否定的,因为通过计算extend[0]=4,从而可以得出S[0,3]=T[0,3],进一步可以得到 S[1,3]=T[1,3],计算extend[1]时,事实上是从S[1]开始匹配,设辅助数组next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度。在这个例子中,next[1]=4,即T[0,3]=T[1,4],进一步得到T[1,3]=T[0,2],所以S[1,3]=T[0,2],所以在计算extend[1]时,通过extend[0]的计算,已经知道S[1,3]=T[0,2],所以前面3个字符已经不需要匹配,直接匹配S[4]和T[3]即可,这时一次就发生失配,所以extend[1]=3。这个例子很有代表性,有兴趣的读者可以继续计算剩下的extend数组。

1. 拓展kmp算法一般步骤

通过上面的例子,事实上已经体现了拓展kmp算法的思想,下面来描述拓展kmp算法的一般步骤。

  首先我们从左到右依次计算extend数组,在某一时刻,设extend[0...k]已经计算完毕,并且之前匹配过程中所达到的最远位置为P,所谓最远位置,严格来说就是i+extend[i]-1的最大值(0<=i<=k),并且设这个最大值的位置为po,如在上一个例子中,计算extend[1]时,P=3,po=0。

   

现在要计算extend[k+1],根据extend数组的定义,可以推断出S[po,P]=T[0,P-po],从而得到 S[k+1,P]=T[k-po+1,P-po],令len=next[k-po+1],(回忆下next数组的定义),分两种情况讨论:

第一种情况:k+len<P

如下图所示:

  

 

  上图中,S[k+1,k+len]=T[0,len-1],然后S[k+len+1]一定不等于T[len],因为如果它们相等,则有S[k+1,k+len+1]=T[k+po+1,k+po+len+1]=T[0,len],那么next[k+po+1]=len+1,这和next数组的定义不符(next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度),所以在这种情况下,不用进行任何匹配,就知道extend[k+1]=len。

第二种情况: k+len>=P

如下图:

 

 

上图中,S[p+1]之后的字符都是未知的,也就是还未进行过匹配的字符串,所以在这种情况下,就要从S[P+1]和T[P-k+1]开始一一匹配,直到发生失配为止,当匹配完成后,如果得到的extend[k+1]+(k+1)大于P则要更新未知P和po。

  至此,拓展kmp算法的过程已经描述完成,细心地读者可能会发现,next数组是如何计算还没有进行说明,事实上,计算next数组的过程和计算extend[i]的过程完全一样,将它看成是以T为母串,T为字串的特殊的拓展kmp算法匹配就可以了,计算过程中的next数组全是已经计算过的,所以按照上述介绍的算法计算next数组即可,这里不再赘述。

2. 时间复杂度分析

  下面来分析一下算法的时间复杂度,通过上面的算法介绍可以知道,对于第一种情况,无需做任何匹配即可计算出extend[i],对于第二种情况,都是从未被匹配的位置开始匹配,匹配过的位置不再匹配,也就是说对于母串的每一个位置,都只匹配了一次,所以算法总体时间复杂度是O(n)的,同时为了计算辅助数组next[i]需要先对字串T进行一次拓展kmp算法处理,所以拓展kmp算法的总体复杂度为O(n+m)的。其中n为母串的长度,m为子串的长度。

3. 模板

1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 const int maxn = 100010; 4 char s[maxn]= "aaaabaa", t[maxn] = "aaaaa"; 5 int nextt[maxn], ls, lt, extend[maxn]; 6 7 void get_next(); 8 void exkmp(); 9 10 int main()11 {12 ls = strlen(s);//不要全局和局部乱用 13 lt = strlen(t);14 15 exkmp();16 for(int i = 0; i < lt; i++){17 printf("%d ",nextt[i]);18 }19 puts("");20 21 for(int i = 0; i < ls; i++){22 printf("%d ",extend[i]);23 }24 puts("");25 return 0;26 } 27 28 void get_next(){29 nextt[0] = lt;30 31 int k = 1;32 while(k < lt && t[k] == t[k - 1])33 k++;34 nextt[1] = k;35 36 int po = 1;37 for(k = 2; k < lt; k++){38 if(nextt[k - po] + k < nextt[po] + po)39 nextt[k] = nextt[k - po];40 else{41 int j = nextt[po] + po - k;42 if(j < 0)43 j=0;44 while(j + k < lt && t[j] == t[j + k])45 j++;46 47 nextt[k] = j;48 po = k;49 }50 }51 }52 53 void exkmp(){54 memset(nextt,0,sizeof(nextt));55 get_next();56 57 int k = 0;58 while(k < ls && k < lt && s[k] == t[k])59 k++;60 extend[0] = k;61 62 int po=0;63 for(k = 1; k < ls; k++){64 if(nextt[k - po] + k < extend[po] + po)65 extend[k] = nextt[k - po];66 else{67 int j = extend[po] + po - k;68 if(j < 0)69 j = 0;70 while(k + j < ls && j < lt && s[k + j] == t[j])71 j++;72 73 extend[k] = j;74 po = k;75 }76 }77 }

4. 模板练习题

https://cn.vjudge.net/problem/HDU-3613

练习题参考解答:https://www.cnblogs.com/wenzhixin/p/9355880.html

5.参考博客原文链接:https://blog.csdn.net/dyx404514/article/details/41831947